Exercice 8, § 3

Soit E un espace de Fréchet, $E'_b$ son dual fort. On suppose qu'il existe une suite partout dense $(x'_n)$ dans $E'_b$. Montrer que E est de type dénombrable. (Soit $(K'_n)$ une base dénombrable de la bornologie canonique de $E'_b$ formée d'ensembles fermés, convexes, équilibrés. Pour tout système $\alpha$ formé d'un point $x'_n$, d'un nombre fini quelconque de nombres rationnels $\lambda_k > 0$ $(1 \leq k \leq m)$ et de m indices $n_k$ tels que $x'_n \notin 2 \sum_{k=1}^m \lambda_k K'_{n_k} = 2H'_\alpha$, soit $x_\alpha \in E$ tel que l'hyperplan d'équation $\langle x_\alpha, y' \rangle = 1$ sépare strictement les deux ensembles faiblement compacts $H'_\alpha$ et $x'_n + H'_\alpha$. Montrer que pour tout $x' \neq 0$ dans $E'$, il existe un système $\alpha$ tel que $\langle x_\alpha, x' \rangle \neq 0$. Pour cela, considérer un voisinage $V'$ de 0 dans $E'_b$ tel que $V' \cap (x' + V') = \emptyset$, puis, pour chaque entier $m$, un nombre rationnel $\lambda_m > 0$ tel que $\lambda_m K'_m \subset V'$; utiliser le fait que la réunion $U' \subset V'$ des $\lambda_m K'_m$ est un voisinage de 0 (exerc. 7, c) et IV, p. 58, exerc. 3, b)) et qu’il existe $n$ tel que $x'_n \in x' + U'$.