Bài tập 8, § 3

Cho E là một không gian Fréchet, $E'_b$ là đối ngẫu mạnh của nó. Giả sử rằng tồn tại một dãy trù mật khắp nơi $(x'_n)$ trong $E'_b$. Bây giờ chứng minh rằng E có kiểu đếm được. (Cho $(K'_n)$ là một cơ sở đếm được của bornologie chính tắc của $E'_b$ được tạo thành bởi các tập hợp đóng, lồi, cân bằng. Với mọi hệ $\alpha$ tạo bởi một điểm $x'_n$, một số hữu hạn tùy ý các số hữu tỉ $\lambda_k > 0$ $(1 \leq k \leq m)$ và m chỉ số $n_k$ sao cho $x'_n \notin 2 \sum_{k=1}^m \lambda_k K'_{n_k} = 2H'_\alpha$, cho $x_\alpha \in E$ sao cho siêu phẳng có phương trình $\langle x_\alpha, y' \rangle = 1$ tách nghiêm ngặt hai tập hợp compact yếu $H'_\alpha$ và $x'_n + H'_\alpha$. Bây giờ chứng minh rằng với mọi $x' \neq 0$ trong $E'$, tồn tại một hệ $\alpha$ sao cho $\langle x_\alpha, x' \rangle \neq 0$. Để làm điều này, xét một lân cận $V'$ của 0 trong $E'_b$ sao cho $V' \cap (x' + V') = \emptyset$, rồi, với mỗi số nguyên $m$, một số hữu tỉ $\lambda_m > 0$ sao cho $\lambda_m K'_m \subset V'$; sử dụng sự kiện rằng hợp $U' \subset V'$ của các $\lambda_m K'_m$ là một lân cận của 0 (Bài tập 7, c) và IV, p. 58, Bài tập 3, b)) và rằng tồn tại $n$ sao cho $x'_n \in x' + U'$.