Exercice 9, § 3

a) Soient $E$ un espace semi-tonnelé séparé, $M$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, $E'$ le dual de $E$. Montrer que $E/M$ est semi-tonnelé et que la topologie forte $\beta(M^\circ, E/M)$ est identique à la topologie induite sur $M^\circ$ par la topologie forte $\beta(E', E)$. (Noter qu’il suffit de prouver qu’une suite $(x'_n)$ dans $M^\circ$ qui converge vers 0 pour $\beta(E', E)$ est bornée pour $\beta(M^\circ, E/M)$.) En déduire que si $E$ est un espace (DF), il en est de même de $E/M$ (cf. IV, p. 63, exerc. 8). b) Soient $E$ un espace localement convexe séparé, $M$ un sous-espace vectoriel (non nécessairement fermé) de $E$. Montrer que si $M$ est un espace semi-tonnelé, la topologie forte $\beta(E'/M^\circ, M)$ est identique à la topologie quotient par $M^\circ$ de la topologie forte $\beta(E', E)$. (Raisonner comme dans a).) c) Montrer qu’un espace semi-tonnelé séparé et quasi-complet $E$ est complet (utiliser b) appliqué à $E$ et $\hat{E}$). En particulier un espace semi-tonnelé semi-réflexif est complet (cf. IV, p. 53, exerc. 6). d) Montrer que le complété d’un espace semi-tonnelé (resp. un espace (DF)) séparé est semi-tonnelé (resp. un espace (DF)). e) Soit $(E_n)$ une suite d’espaces semi-tonnelés (resp. d’espaces (DF)), $E$ un espace vectoriel, et pour chaque $n$, $f_n$ une application linéaire de $E_n$ dans $E$. On suppose que $E$ est réunion des $f_n(E_n)$; montrer que, pour la topologie localement convexe la plus fine rendant continues les $f_n$, $E$ est semi-tonnelé (resp. un espace (DF)) (examiner d’abord le cas où $E$ est somme directe topologique des $E_n$). Si les $E_n$ sont semi-réflexifs (resp. réflexifs) et si $E$ est séparé, $E$ est semi-réflexif (resp. réflexif).