Bài tập 9, § 3

(a) Cho $E$ là một không gian nửa thùng tách được, $M$ là một không gian vectơ con đóng của $E$, $E'$ là đối ngẫu của $E$. Bây giờ chứng minh rằng $E/M$ là nửa thùng và rằng tôpô mạnh $\beta(M^\circ, E/M)$ đồng nhất với tôpô cảm sinh trên $M^\circ$ bởi tôpô mạnh $\beta(E', E)$. (Chú ý rằng chỉ cần chứng minh rằng một dãy $(x'_n)$ trong $M^\circ$ hội tụ về 0 đối với $\beta(E', E)$ là bị chặn đối với $\beta(M^\circ, E/M)$.) Suy ra rằng nếu $E$ là một không gian (DF), thì điều tương tự cũng đúng đối với $E/M$ (xem IV, p. 63, bài tập 8). b) Cho $E$ là một không gian lồi địa phương tách được, $M$ là một không gian vectơ con (không nhất thiết đóng) của $E$. Chứng minh rằng nếu $M$ là một không gian nửa thùng, thì tôpô mạnh $\beta(E'/M^\circ, M)$ đồng nhất với tôpô thương bởi $M^\circ$ của tôpô mạnh $\beta(E', E)$. (Lý luận như trong a).) c) Chứng minh rằng một không gian nửa thùng tách được và gần đầy đủ $E$ là đầy đủ (áp dụng b) cho $E$ và $\hat{E}$). Đặc biệt một không gian nửa phản xạ nửa thùng là đầy đủ (xem IV, p. 53, bài tập 6). d) Chứng minh rằng sự hoàn thành của một không gian nửa thùng tách được (tương ứng một không gian (DF)) là nửa thùng (tương ứng một không gian (DF)). e) Cho $(E_n)$ là một dãy các không gian nửa thùng (tương ứng các không gian (DF)), $E$ là một không gian vectơ, và với mỗi $n$, $f_n$ là một ánh xạ tuyến tính từ $E_n$ vào $E$. Giả sử rằng $E$ là hợp của các $f_n(E_n)$; chứng minh rằng, đối với tôpô lồi địa phương mịn nhất làm cho các $f_n$ liên tục, $E$ là nửa thùng (tương ứng một không gian (DF)) (xét trước trường hợp $E$ là tổng trực tiếp tôpô của các $E_n$). Nếu các $E_n$ là nửa phản xạ (tương ứng phản xạ) và nếu $E$ là tách được, thì $E$ là nửa phản xạ (tương ứng phản xạ).