Exercice 12, § 5

Soit E un espace de Banach non réflexif. Prouver qu’il existe dans E un sous-espace vectoriel fermé M non réflexif et de codimension infinie. (Soit $(x_n)$ une suite bornée dans E n’admettant aucune valeur d’adhérence pour la topologie $\sigma(E, E')$ (IV, p. 69, exerc. 8); former par récurrence une suite $(x_{n_k})$ extraite de $(x_n)$ et une suite $(y_k)$ topologiquement libre telles que $\|x_{n_k} - y_k\| \leq 1/k$ pour $k \geq 1$, et considérer le sous-espace vectoriel fermé de E engendré par les $y_{2k}$.