Exercice 15, § 5

Soit E un espace de Banach admettant une base banachique $(e_n)$ (exerc. 14); il existe alors une suite $(e'_n)$ et une seule dans le dual $E'$ de E telle que l’expression de tout $x \in E$ à l’aide de la base banachique $(e_n)$ s’écrive $x = \sum_{n=0}^{\infty} \langle x, e'_n \rangle e_n$.

a) Soit $F_n$ le sous-espace vectoriel fermé de E engendré par les $e_m$ tels que $m \geq n$. Pour tout $x' \in E'$, on note $\|x'\|_n$ la norme de la restriction à $F_n$ de la forme linéaire $x'$. Montrer que, pour que $(e'_n)$ soit une base banachique de $E'$, il faut et il suffit que pour tout $x' \in E'$, la suite $(\|x'\|_n)$ tende vers 0. (Considérer la transposée $^tP_n$ et évaluer la norme $\|^tP_n \cdot x' - x'\|$.) On dit alors que la base banachique $(e_n)$ est contractante.

b) On suppose que la base banachique $(e_n)$ de E est contractante. Montrer que pour tout point $x''$ du bidual $E''$ de E, la suite des sommes $\sum_{m=0}^{n} \langle e'_m, x'' \rangle e_m$ est bornée dans E (considérer le transposé $^t(P_n)$ dans $E''$). Inversement, pour toute suite $(a_n)$ de scalaires telle que la suite des sommes $\sum_{m=0}^{n} a_m e_m$ soit bornée dans E, il existe un $x'' \in E''$ et un seul tel que $\langle e'_n, x'' \rangle = a_n$ pour tout $n$ (utiliser la compacité d’une boule fermée dans $E''$ pour la topologie $\sigma(E'', E')$).

c) On dit qu’une base banachique $(e_n)$ dans E est complète si, pour toute suite $(a_n)$ de scalaires telle que la suite des sommes $\sum_{m=0}^{n} a_m e_m$ soit bornée, la série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n e_n$ converge. Si $(e_n)$ est une base contractante de E, la base $(e'_n)$ de $E'$ est complète (utiliser la compacité d’une boule fermée dans $E'$ pour $\sigma(E', E)$).

d) En général, la suite $(e'_n)$ est une base banachique du sous-espace fermé $F'$ du dual fort $E'$ de E, engendré par les $e'_n$, et il y a une application linéaire continue injective $J$ de E dans le dual fort $F''$ de $F'$ telle que $\langle J.x, z' \rangle = \langle x, z' \rangle$ pour tout $x \in E$ et tout $z' \in F'$. Montrer qu’il existe une constante $K > 0$ telle que $\|J.x\| \geq K.\|x\|$, et que si la base $(e_n)$ est complète, $J$ est un isomorphisme de E sur l’espace vectoriel topologique $F''$.

e) Montrer que, pour que E soit réflexif, il faut et suffit que la base $(e_n)$ soit contractante et complète (utiliser b)).

¹ Il est clair que l’existence d’une base banachique dans E implique que E est de type dénombrable. Mais il y a des exemples d’espaces de Banach de type dénombrable dans lesquels il n’existe pas de base banachique (P. Enflo, Acta math., t. CXXX (1973), p. 309-317).