Bài tập 15, § 5

Cho E là một không gian Banach với một cơ sở Banach $(e_n)$ (Bài tập 14); khi đó tồn tại một dãy duy nhất $(e'_n)$ trong đối ngẫu $E'$ của E sao cho biểu thức của mọi $x \in E$ theo cơ sở Banach $(e_n)$ có thể được viết dưới dạng $x = \sum_{n=0}^\infty \langle x, e'_n \rangle e_n$.

a) Cho $F_n$ là không gian con vectơ đóng của E sinh bởi các $e_m$ với $m \geq n$. Với mọi $x' \in E'$, ký hiệu $\|x'\|_n$ là chuẩn của hạn chế của dạng tuyến tính $x'$ lên $F_n$. Chứng minh rằng, để $(e'_n)$ là một cơ sở Banach của $E'$, điều kiện cần và đủ là với mọi $x' \in E'$, dãy $(\|x'\|_n)$ tiến tới 0. (Xét chuyển vị $tP_n$ và tính chuẩn $\|tP_n \cdot x' - x'\|$.) Trong trường hợp này, cơ sở Banach $(e_n)$ được gọi là co rút.

b) Giả sử cơ sở Banach $(e_n)$ là co rút. Chứng minh rằng với mọi điểm $x''$ của đối ngẫu kép $E''$ của E, dãy các tổng $\sum_{m=0}^n \langle e'_m, x'' \rangle e_m$ là bị chặn trong E (xét chuyển vị $t(tP_n)$ trong $E''$). Ngược lại, với mọi dãy $(a_n)$ các vô hướng sao cho dãy các tổng $\sum_{m=0}^n a_m e_m$ là bị chặn trong E, tồn tại duy nhất $x'' \in E''$ sao cho $\langle e'_n, x'' \rangle = a_n$ với mọi $n$ (sử dụng tính compact của một quả cầu đóng trong $E''$ đối với tôpô $\sigma(E'', E')$).

c) Một cơ sở Banach $(e_n)$ trong E được gọi là đầy đủ nếu, với mọi dãy $(a_n)$ các vô hướng sao cho dãy các tổng $\sum_{m=0}^n a_m e_m$ là bị chặn, chuỗi $\sum_{n=0}^\infty a_n e_n$ hội tụ. Nếu $(e_n)$ là một cơ sở co rút của E, cơ sở $(e'_n)$ của $E'$ là đầy đủ (sử dụng tính compact của một quả cầu đóng trong $E'$ đối với $\sigma(E', E)$).

d) Nói chung, dãy $(e'_n)$ là một cơ sở Banach của không gian con đóng $F'$ của đối ngẫu mạnh $E'$ của E, được sinh bởi các $e'_n$, và tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục đơn ánh $J$ từ E vào đối ngẫu mạnh $F''$ của $F'$ sao cho $\langle J.x, z' \rangle = \langle x, z' \rangle$ với mọi $x \in E$ và mọi $z' \in F'$. Chứng minh rằng tồn tại một hằng $K > 0$ sao cho $\|J.x\| \geq K.\|x\|$, và rằng nếu cơ sở $(e_n)$ là đầy đủ, thì $J$ là một đẳng cấu từ E lên không gian vectơ tôpô $F''$.

e) Chứng minh rằng để E là phản xạ, điều kiện cần và đủ là cơ sở $(e_n)$ là co rút và đầy đủ (sử dụng b)).