Exercice 17, § 5

a)** Soit E un espace de Banach admettant une base banachique inconditionnelle $(e_n)$ (exerc. 16). Montrer que si la base $(e_n)$ n’est pas contractante (IV, p. 70, exerc. 15), il existe un nombre $\alpha > 0$, une forme linéaire $x' \in E'$ telle que $\|x'\| = 1$, une suite strictement croissante d’entiers $(n_k)$ et pour chaque $k$, un élément $y_k$, combinaison linéaire des $e_j$ pour $n_k \leq j < n_{k+1}$, et tel que $\|y_k\| \leq 1$ et $\langle y_k, x' \rangle \geq \alpha$. En déduire que pour toute suite finie $(\lambda_j)_{1 \leq j \leq m}$ de scalaires, on a

(utiliser l’exerc. 16, c)). Conclure qu’il existe un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques de l’espace $\ell^1(\mathbf{N})$ sur un sous-espace fermé de E. b) Déduire de a) que si le dual fort $E'$ de E est de type dénombrable, toute base inconditionnelle $(e_n)$ de E est contractante, et alors $(e'_n)$ est une base inconditionnelle de $E'$ (IV, p. 70, exerc. 15, a)). (Remarquer que si un sous-espace vectoriel fermé de E est isomorphe à $\ell^1(\mathbf{N})$, E' ne peut être de type dénombrable.) c) Montrer que si E admet une base inconditionnelle et si le bidual fort E'' de E est de type dénombrable, E est réflexif. (Observer d’abord que le dual fort E’ de E est de type dénombrable, en utilisant IV, p. 52, exerc. 25 ; puis utiliser IV, p. 70, exerc. 15, c) et IV, p. 54, exerc. 11.)