Bài tập 17, § 5

a) Cho E là một không gian Banach với một cơ sở Banach không điều kiện $(e_n)$ (bài tập 16). Chứng minh rằng nếu cơ sở $(e_n)$ không co (IV, p. 70, bài tập 15), thì tồn tại một số $\alpha > 0$, một dạng tuyến tính $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| = 1$, một dãy tăng ngặt các số nguyên $(n_k)$ và với mỗi $k$, một phần tử $y_k$ là một tổ hợp tuyến tính của các $e_j$ với $n_k \leq j \leq n_{k+1}$, và sao cho $\|y_k\| \leq 1$ và $\langle y_k, x' \rangle \geq \alpha$. Suy ra rằng với mọi dãy hữu hạn $(\lambda_j)_{1 \leq j \leq m}$ các vô hướng, ta có $\left\| \sum_{j=1}^m \lambda_j y_j \right\| \geq \frac{\alpha}{2K} \sum_{j=1}^m |\lambda_j|$ (dùng bài tập 16, c)). Kết luận rằng tồn tại một đẳng cấu không gian vectơ tôpô từ $\ell^1(\mathbf{N})$ lên một không gian con đóng của E. b) Suy ra từ a) rằng nếu đối ngẫu mạnh $E'$ của E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, thì mọi cơ sở không điều kiện $(e_n)$ của E đều co, và do đó $(e'_n)$ là một cơ sở không điều kiện của $E'$ (IV, p. 70, bài tập 15, a)). (Chú ý rằng nếu một không gian con vectơ đóng của E là đẳng cấu với $\ell^1(\mathbf{N})$, thì E' không thể thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.) c) Chứng minh rằng nếu E có một cơ sở không điều kiện và nếu đối ngẫu kép mạnh $E''$ của E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, thì E là phản xạ. (Dùng IV, p. 51, bài tập 25, chú ý rằng đối ngẫu mạnh $E'$ của E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất; sau đó dùng IV, p. 70, bài tập 15, c) và IV, p. 53, bài tập 11.)