Exercice 12, § 1

a) Montrer qu’il existe un nombre $c_0 > 0$ tel que, pour tout espace vectoriel réel normé E de dimension $n$ et tout entier $k \leq c_0 n$, il existe une norme hilbertienne $x \mapsto \|x\|_2$ sur E telle que $\|x\|_2 \leq \|x\|$ pour tout $x \in E$, ainsi qu’un système orthonormal $(x_j)_{1 \leq j \leq k}$ de $k$ éléments de E (pour la structure hilbertienne) de normes $\|x_j\| \leq 2$. (Utiliser l’exerc. 3 de V, p. 59.) b) Soient $n, m$ deux entiers $> 0$ tels que $n \leq c_0 m$. Soit E un espace vectoriel réel normé, de dimension $m$. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel F de E, de dimension $n$, une forme bilinéaire symétrique positive et séparante $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ sur F et une base orthonormale $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ de F tels que

(où $\|x\|_2^2 = \langle x|x \rangle$) pour tout $x \in F$. (Appliquer a) au dual E’ de E.)