Bài tập 12, § 1

a) Chứng minh rằng tồn tại một số $c_0 > 0$ sao cho, với mọi không gian vectơ chuẩn thực E có chiều $n$ và mọi số nguyên $k \leq c_0 n$, tồn tại một chuẩn Hilbert $x \mapsto \|x\|_2$ trên E sao cho $\|x\|_2 \leq \|x\|$ với mọi $x \in E$, cũng như một hệ trực chuẩn $(x_j)_{1 \leq j \leq k}$ gồm $k$ phần tử của E (đối với cấu trúc Hilbert) có các chuẩn $\|x_j\| \leq 2$. (Dùng Bài tập 3 của V, p. 59.) b) Cho $n, m$ là hai số nguyên $> 0$ sao cho $n \leq c_0 m$. Cho E là một không gian vectơ chuẩn thực, có chiều $m$. Chứng minh rằng tồn tại một không gian con vectơ F của E, có chiều $n$, một dạng song tuyến tính đối xứng dương và tách biệt $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ trên F và một cơ sở trực chuẩn $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ của F sao cho

(với $\|x\|_2^2 = \langle x|x \rangle$) với mọi $x \in F$. (Áp dụng a) cho đối ngẫu E’ của E.)