Exercice 14, § 1

Soit E un espace de Banach de dimension infinie. a) Montrer que pour tout entier N, il existe une suite $(b_j)_{1 \leq j \leq N}$ de N vecteurs de E, de norme 1, tels que, pour toute suite $(\xi_j)_{1 \leq j \leq N}$ de N scalaires, on ait

(utiliser l’exerc. 12, b)). b) Pour toute suite $(\lambda_n)_{n \geq 1}$ de nombres $\geq 0$ telle que $\sum \lambda_n^2 < +\infty$, montrer qu’il existe une suite $(x_n)_{n \geq 1}$ de points de E telle que $\|x_n\| = \lambda_n$ pour tout $n$, et que la série $(x_n)$ soit sommable. (Utiliser a) et l’exerc. 13, a).) c) Déduire de b) que dans tout espace de Banach de dimension infinie, il existe une série commutativement convergente mais non absolument convergente (th. de Dvoretzky-Rogers).