Bài tập 14, § 1

Cho $E$ là một không gian Banach vô hạn chiều. (a) Bây giờ chứng minh rằng với mọi số nguyên $N$, tồn tại một dãy $(b_j)_{1 \leq j \leq N}$ gồm $N$ vectơ của $E$, có chuẩn 1, sao cho, với mọi dãy $(\xi_j)_{1 \leq j \leq N}$ gồm $N$ vô hướng, ta có

(sử dụng Bài tập 12, b)). (b) Với mọi dãy $(\lambda_n)_{n \geq 1}$ các số $\geq 0$ sao cho $\sum \lambda_n^2 < +\infty$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ các điểm của $E$ sao cho $\|x_n\| = \lambda_n$ với mọi $n$, và chuỗi $(x_n)$ là khả tổng. (Sử dụng a) và Bài tập 13, a).) (c) Suy ra từ b) rằng trong mọi không gian Banach vô hạn chiều, tồn tại một chuỗi hội tụ giao hoán nhưng không hội tụ tuyệt đối (định lý Dvoretzky-Rogers).