Exercice 19, § 1

Soit E un espace normé complexe, de dimension infinie. On suppose qu’il existe une application bijective ω de l’ensemble $\mathscr{M}$ des sous-espaces vectoriels fermés de E sur lui-même, ayant les propriétés énoncées dans l’exerc. 18. a) Montrer qu’il existe une application semi-linéaire u de E sur son dual E’ (pour l’automorphisme ξ ↦ $\overline{\xi}$ de $\mathbf{C}$) bien déterminée à un facteur scalaire près et telle que $u(M) = (\omega(M))^{\circ}$ pour tout $M \in \mathscr{M}$. (Procéder comme dans l’exerc. 18 ; en utilisant IV, p. 65, exerc. 16, montrer que u est une application semi-linéaire relative à l’automorphisme identique de $\mathbf{C}$ ou à l’automorphisme $\xi \mapsto \overline{\xi}$; prouver enfin que le premier cas ne peut se produire, en remarquant que $\langle x, u(x) \rangle \neq 0$ pour $x \neq 0$.) b) Si l’on pose $\langle y|x \rangle = \langle x, u(y) \rangle$, montrer que $\langle x|y \rangle = \overline{\langle y|x \rangle}$ et que $\langle x|x \rangle$ garde un signe constant dans l’ensemble des $x \neq 0$ (même méthode que dans l’exerc. 18). c) Montrer enfin que la topologie définie par la norme $\langle x|x \rangle^{1/2}$ est plus fine que la topologie initiale $\mathscr{T}_0$ sur E, et que ces deux topologies sont identiques lorsque E est complet pour $\mathscr{T}_0$; dans ce dernier cas, $\omega(M)$ est le supplémentaire orthogonal de M dans l’espace hilbertien E.