Bài tập 19, § 1

Cho $E$ là một không gian chuẩn phức chiều vô hạn. Giả sử tồn tại một ánh xạ song ánh $\omega$ từ tập hợp $\mathfrak{M}$ các không gian vectơ con đóng của $E$ lên chính nó, có các tính chất được liệt kê trong Bài tập 18. a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ nửa tuyến tính $u$ từ $E$ lên không gian đối ngẫu $E'$ của nó (đối với tự đẳng cấu $\xi \mapsto \overline{\xi}$ của $\mathbf{C}$) được xác định sai khác một nhân tử vô hướng và sao cho $u(M) = (\omega(M))^{\circ}$ với mọi $M \in \mathfrak{M}$. (Tiến hành như trong Bài tập 18; sử dụng IV, p. 65, Bài tập 16, chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ nửa tuyến tính đối với tự đẳng cấu đồng nhất của $\mathbf{C}$ hoặc đối với tự đẳng cấu $\xi \mapsto \overline{\xi}$; cuối cùng chứng minh rằng trường hợp thứ nhất không thể xảy ra vì $\langle x, u(x) \rangle \neq 0$ với $x \neq 0$.) b) Nếu ta đặt $\langle y|x \rangle = \langle x, u(y) \rangle$, chứng minh rằng $\langle x|y \rangle = \langle y|x \rangle$ và rằng $\langle x|x \rangle$ có cùng dấu trên tập hợp tất cả các $x \neq 0$ (cùng phương pháp như trong Bài tập 18). c) Cuối cùng chứng minh rằng tôpô xác định bởi chuẩn $\langle x|x \rangle^{1/2}$ mịn hơn tôpô ban đầu $\mathscr{T}_0$ trên $E$, và rằng hai tôpô này trùng nhau khi $E$ đầy đủ đối với $\mathscr{T}_0$; trong trường hợp sau, $\omega(M)$ là phần bù trực giao của $M$ trong không gian Hilbert $E$.