Exercice 20, § 1

Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie, φ une application linéaire bijective de E sur son dual E*. Soit A un ensemble convexe symétrique compact dans E, ayant 0 comme point intérieur ; on suppose que, pour tout point x de la frontière de A, l’hyperplan d’équation $\langle y - x, \varphi(x) \rangle = 0$ soit un hyperplan d’appui pour A. a) Soit $f(x) = |\langle x, \varphi(x) \rangle|$, et soit a un point frontière de A où $f(x)$ atteint son minimum. Montrer que, pour tout point b tel que $\langle b, \varphi(a) \rangle = 0$, on a aussi $\langle a, \varphi(b) \rangle = 0$. (Remarquer que $\langle x, \varphi(x) \rangle \neq 0$ pour $x \neq 0$, et qu’on peut par suite supposer que $f(x) = \langle x, \varphi(x) \rangle \geqslant 0$; utiliser le fait que tout hyperplan d’appui de A au point a est aussi un hyperplan d’appui de l’ensemble défini par $f(x) \leqslant f(a)$.) b) Montrer que $(x, y) \mapsto \langle x, \varphi(y) \rangle$ est une forme bilinéaire symétrique, et que A est identique à l’ensemble des points x tels que $f(x) \leqslant \gamma$ pour une constante convenable γ. (Raisonner par récurrence sur la dimension de E, en considérant, avec les notations de a), l’hyperplan d’équation $\langle x, \varphi(a) \rangle = 0$.)