Bài tập 20, § 1

Cho E là một không gian vectơ thực có số chiều hữu hạn, φ là một ánh xạ tuyến tính song ánh của E lên đối ngẫu E*. Cho A là một tập hợp lồi đối xứng compact trong E, có 0 là một điểm trong; giả sử rằng, với mọi điểm x thuộc biên của A, siêu phẳng có phương trình $\langle y - x, \varphi(x) \rangle = 0$ là một siêu phẳng tựa của A. a) Đặt $f(x) = |\langle x, \varphi(x) \rangle|$, và gọi a là một điểm biên của A tại đó $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng, với mọi điểm b sao cho $\langle b, \varphi(a) \rangle = 0$, ta cũng có $\langle a, \varphi(b) \rangle = 0$. (Nhận xét rằng $\langle x, \varphi(x) \rangle \neq 0$ với $x \neq 0$, và do đó có thể giả sử rằng $f(x) = \langle x, \varphi(x) \rangle \geqslant 0$; sử dụng sự kiện rằng mọi siêu phẳng tựa của A tại điểm a cũng là một siêu phẳng tựa của tập hợp được xác định bởi $f(x) \leqslant f(a)$.) b) Chứng minh rằng $(x, y) \mapsto \langle x, \varphi(y) \rangle$ là một dạng song tuyến tính đối xứng, và rằng A đồng nhất với tập hợp các điểm x sao cho $f(x) \leqslant \gamma$ với một hằng thích hợp γ. (Lập luận bằng quy nạp theo chiều của E, bằng cách xét, với ký hiệu của a), siêu phẳng có phương trình $\langle x, \varphi(a) \rangle = 0$.)