Exercice 21, § 1

Soient E un espace vectoriel complexe de dimension finie, φ une application semi-linéaire (relative à l’automorphisme $\xi \mapsto \overline{\xi}$ de $\mathbf{C}$) bijective de E sur son dual E*. Soit $\|x\|$ une norme sur E telle que, pour tout $x \in E$, on ait $|\langle x, \varphi(x) \rangle| = \|x\| \cdot \|\varphi(x)\|$. Montrer que $(y, x) \mapsto \langle x, \varphi(y) \rangle$ est, à un facteur constant près, une forme hermitienne positive séparante, et que l’on a $\langle x, \varphi(x) \rangle = \gamma \|x\|^2$ (γ constante). (Raisonner comme dans l’exerc. 20.)