Exercice 22, § 1

Soit E un espace normé réel de dimension $\geqslant 3$ tel que, pour tout plan homogène P dans E, il existe un projecteur continu de E sur P, de norme 1. Montrer que la norme sur E est préhilbertienne. On se ramènera, à l’aide de V, p. 59, exerc. 2, au cas où E est de dimension 3, et on établira successivement les propositions suivantes : a) Pour tout plan homogène P dans E, il existe un seul projecteur continu de E sur P, de norme 1, et le noyau de ce projecteur est une droite homogène D(P), telle que $P \mapsto D(P)$ soit une bijection continue de l’espace des plans homogènes de E dans l’espace des droites homogènes de E (TG, VI, p. 18). b) Tout point de la sphère S d’équation $\|x\| = 1$ dans E est extrémal dans la boule B de E définie par $\|x\| \leqslant 1$. (Montrer d’abord que, si $x \in S$ n’était pas extrémal, sa facette $F_x$ dans B (II, p. 92, exerc. 3) serait de dimension 2, en considérant tous les plans homogènes P passant par x ; prouver ensuite que cette hypothèse est contradictoire, en procédant de même en un point de $F_x$ où il n’existe qu’une seule droite d’appui de $F_x$ dans le plan engendré par $F_x$; l’existence d’un tel point pourra être établie en utilisant II, p. 93, exerc. 7 et p. 94, exerc. 8.) c) Tout point de la sphère S’ d’équation $\|x'\| = 1$ dans le dual E’ de E est extrémal dans la boule B’ de E’ définie par $\|x'\| \leqslant 1$. (Remarquer d’abord que, pour toute droite homogène D’ de E’, il existe un plan homogène P’(D’) et un seul dans E’ tel que, pour tout point de $S' \cap P'(D')$, le plan d’appui de B’ en ce point (unique d’après a)) soit parallèle à D’ ; en outre l’application $D' \mapsto P'(D')$ est continue. Déduire de là tout d’abord que si $x' \in S'$ n’était pas extrémal dans B’, sa facette $F_{x'}$ dans B’ serait de dimension 2 au moins, en considérant toutes les droites homogènes D’ parallèles au plan d’appui de B’ au point $x'$. Montrer ensuite que cette hypothèse entraîne contradiction, en considérant un point de stricte convexité $y'$ de $F_{x'}$ (II, p. 94, exerc. 8), l’unique droite homogène $D'_0$ parallèle à la droite d’appui de $F_{x'}$ au point $y'$ dans le plan engendré par $F_{x'}$, et en prouvant que la fonction $D' \mapsto P'(D')$ ne serait pas continue pour $D' = D'_0$. d) Montrer que, si trois plans homogènes $P_1, P_2, P_3$ dans $E$ contiennent une même droite $\Delta$, les trois droites $D(P_1), D(P_2), D(P_3)$ sont dans un même plan homogène $\pi(\Delta)$ (considérer l’unique plan d’appui de $B$ en un point d’intersection de $\Delta$ et de $S$). En appliquant le th. fondamental de la géométrie projective (A, II, p. 203, exerc. 16), en déduire qu’il existe une application linéaire bijective $\varphi$ de $E'$ sur $E$ telle que, pour tout $x' \in E'$, le point $\varphi(x')$ appartienne à la droite $D(P)$, où $P$ est le plan d’équation $\langle y, x' \rangle = 0$. Montrer que, pour tout point $x' \in S'$, le plan d’équation $\langle \varphi(x'), y' - x' \rangle = 0$ est plan d’appui de $B'$ en ce point, et conclure en appliquant V, p. 64, exerc. 20.