Bài tập 22, § 1

Cho $E$ là một không gian chuẩn thực có chiều $\geqslant 3$ sao cho, với mọi mặt phẳng thuần nhất $P$ trong $E$, tồn tại một phép chiếu liên tục của $E$ lên $P$, có chuẩn 1. Chứng minh rằng chuẩn trên $E$ là prehilbert. Ta sẽ rút gọn, với sự trợ giúp của V, p. 59, exerc. 2, về trường hợp $E$ có chiều 3, và ta sẽ lần lượt thiết lập các mệnh đề sau: a) Với mọi mặt phẳng thuần nhất $P$ trong $E$, tồn tại một phép chiếu liên tục duy nhất của $E$ lên $P$, có chuẩn 1, và hạt nhân của phép chiếu này là một phải thuần nhất $D(P)$, sao cho $P \mapsto D(P)$ là một song ánh liên tục của không gian các mặt phẳng thuần nhất của $E$ lên không gian các phải thuần nhất của $E$ (TG, VI, p. 18). b) Mọi điểm của mặt cầu $S$ có phương trình $\|x\| = 1$ trong $E$ đều là cực biên trong quả cầu $B$ của $E$ xác định bởi $\|x\| \leqslant 1$. (Trước hết chứng minh rằng, nếu $x \in S$ không phải là cực biên, thì diện $F_x$ của nó trong $B$ (II, p. 92, exerc. 3) có chiều 2, bằng cách xét tất cả các mặt phẳng thuần nhất $P$ đi qua $x$; tiếp theo chứng minh rằng giả thiết này là mâu thuẫn, tiến hành theo cùng cách tại một điểm của $F_x$ nơi chỉ tồn tại một phải tựa của $F_x$ trong mặt phẳng sinh bởi $F_x$; sự tồn tại của một điểm như vậy có thể được thiết lập bằng cách sử dụng II, p. 93, exerc. 7 và p. 94, exerc. 8.) c) Mọi điểm của mặt cầu $S'$ có phương trình $\|x'\| = 1$ trong đối ngẫu $E'$ của $E$ đều là cực biên trong quả cầu $B'$ của $E'$ xác định bởi $\|x'\| \leqslant 1$. (Trước hết nhận xét rằng, với mọi phải thuần nhất $D'$ của $E'$, tồn tại một và chỉ một mặt phẳng thuần nhất $P'(D')$ trong $E'$ sao cho, với mọi điểm của $S' \cap P'(D')$, mặt phẳng tựa của $B'$ tại điểm này (duy nhất theo a)) song song với $D'$; hơn nữa ánh xạ $D' \mapsto P'(D')$ là liên tục. Suy ra trước hết từ điều này rằng nếu $x' \in S'$ không phải là cực biên trong $B'$, thì diện $F_{x'}$ của nó trong $B'$ có chiều ít nhất 2, bằng cách xét tất cả các phải thuần nhất $D'$ song song với mặt phẳng tựa của $B'$ tại điểm $x'$. Tiếp theo chứng minh rằng giả thiết này dẫn đến một mâu thuẫn, bằng cách xét một điểm lồi ngặt $y'$ của $F_{x'}$ (II, p. 94, exerc. 8), phải thuần nhất duy nhất $D'_0$ song song với phải tựa của $F_{x'}$ tại điểm $y'$ trong mặt phẳng sinh bởi $F_{x'}$, và bằng cách chứng minh rằng hàm $D' \mapsto P'(D')$ sẽ không liên tục đối với $D' = D'_0$. d) Chứng minh rằng, nếu ba mặt phẳng thuần nhất $P_1, P_2, P_3$ trong $E$ chứa cùng một phải $\Delta$, thì ba phải $D(P_1), D(P_2), D(P_3)$ nằm trong cùng một mặt phẳng thuần nhất $\pi(\Delta)$ (xét mặt phẳng tựa duy nhất của $B$ tại một điểm giao của $\Delta$ và $S$). Áp dụng định lý cơ bản của hình học xạ ảnh (A, II, p. 203, exerc. 16), suy ra rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính song ánh $\varphi$ của $E'$ lên $E$ sao cho, với mọi $x' \in E'$, điểm $\varphi(x')$ thuộc phải $D(P)$, trong đó $P$ là mặt phẳng có phương trình $\langle y, x' \rangle = 0$. Chứng minh rằng, với mọi điểm $x' \in S'$, mặt phẳng có phương trình $\langle \varphi(x'), y' - x' \rangle = 0$ là một mặt phẳng tựa của $B'$ tại điểm này, và kết luận bằng cách áp dụng V, p. 64, exerc. 20.