Exercice 27, § 1

On dit qu’un espace normé réel $E$ est strictement convexe si tous les points de la sphère unité sont des points de stricte convexité (II, p. 93, exerc. 6) de la boule unité. Montrer que, pour que $E$ soit strictement convexe, il faut et il suffit que pour tout $x \neq 0$ dans $E$ et tout $y \in E$, il existe un scalaire unique $\alpha$ tel que $x$ soit quasi-normal à $x + y$. (Observer que l’application $t \mapsto \|tx + y\|$ est convexe dans $\mathbf{R}$.)