Bài tập 27, § 1

Một không gian định chuẩn thực E được gọi là lồi ngặt nếu mọi điểm của mặt cầu đơn vị đều là các điểm lồi ngặt (II, p. 87, bài tập 6) của quả cầu đơn vị. Chứng minh rằng, để E là lồi ngặt, điều kiện cần và đủ là với mọi $x \neq 0$ trong E và với mọi $y \in E$, tồn tại một vô hướng duy nhất $\alpha$ sao cho $x$ là gần chuẩn trực với $x + y$. (Nhận xét rằng ánh xạ $t \mapsto \|tx + y\|$ là lồi trong $\mathbf{R}$.)