Exercice 29, § 1

Soient $E$ un espace normé, $E'$ son dual. On dit qu’une application $f$ de $E - \{0\}$ dans $E' - \{0\}$ est une application support si elle est positivement homogène, et si pour tout $x \in E$ tel que $\|x\| = 1$, on a $\|f(x)\| = 1$ et $\langle x, f(x) \rangle = 1$. Pour que $E$ soit lisse (V, p. 65, exerc. 26), il faut et il suffit qu’il existe une application support unique de $E - \{0\}$ dans $E' - \{0\}$.

Soient $S$ la sphère unité dans $E$, $S'$ la sphère unité dans $E'$, et soit $x_0 \in S$. Les conditions suivantes sont équivalentes : α) $x_0$ est un point de lissité de la boule unité dans $E$. β) Il existe une application support $f$ dont la restriction à $S$ est continue au point $x_0$ quand on munit $S$ de la topologie de la norme, et $S'$ de la topologie faible $\sigma(E', E)$. γ) Pour tout $y \in E$, l’application $t \mapsto \|x_0 + ty\|$ admet une dérivée au point $t = 0$. (Pour voir que α) entraîne β), raisonner par l’absurde en utilisant la faible compacité de la boule unité dans $E'$. Pour voir que β) entraîne γ), se ramener au cas où $E$ est de dimension 2 et utiliser le fait que $t \mapsto \|x_0 + ty\|$ est convexe.) Toute application support est alors continue au point $x_0$.