Bài tập 29, § 1

Cho $E$ là một không gian chuẩn, $E'$ là đối ngẫu của nó. Ta nói rằng một ánh xạ $f$ của $E - \{0\}$ vào $E' - \{0\}$ là một ánh xạ đỡ nếu nó thuần nhất dương, và nếu với mọi $x \in E$ sao cho $\|x\| = 1$, ta có $\|f(x)\| = 1$ và $\langle x, f(x) \rangle = 1$. Để $E$ là trơn (V, p. 65, exerc. 26), điều kiện cần và đủ là tồn tại duy nhất một ánh xạ đỡ của $E - \{0\}$ vào $E' - \{0\}$.

Cho $S$ là mặt cầu đơn vị trong $E$, $S'$ là mặt cầu đơn vị trong $E'$, và cho $x_0 \in S$. Các điều kiện sau là tương đương: α) $x_0$ là một điểm trơn của quả cầu đơn vị trong $E$. β) Tồn tại một ánh xạ đỡ $f$ mà hạn chế của nó lên $S$ là liên tục tại điểm $x_0$ khi $S$ được trang bị tôpô của chuẩn, và $S'$ được trang bị tôpô yếu $\sigma(E', E)$. γ) Với mọi $y \in E$, ánh xạ $t \mapsto \|x_0 + ty\|$ có đạo hàm tại điểm $t = 0$. (Để thấy rằng α) kéo theo β), hãy suy luận bằng phản chứng sử dụng tính compact yếu của quả cầu đơn vị trong $E'$. Để thấy rằng β) kéo theo γ), hãy rút gọn về trường hợp $E$ có chiều 2 và sử dụng sự kiện rằng $t \mapsto \|x_0 + ty\|$ là lồi.) Mọi ánh xạ đỡ khi đó đều liên tục tại điểm $x_0$.