Exercice 32, § 1

Soit E un espace normé (réel ou complexe) de dimension $\geqslant 2$, tel que, pour tout $\varepsilon$ tel que $0 < \varepsilon < 2$, les relations $\|x\| = 1,\ \|y\| = 1,\ \|x - y\| \geqslant \varepsilon$ dans E impliquent l’inégalité $\| \frac{1}{2}(x + y) \| \leqslant \left( 1 - \frac{\varepsilon^2}{4} \right)^{1/2}$. Montrer que la norme sur E est préhilbertienne. (Se ramener au cas où E est réel et de dimension 2, et raisonner comme dans V, p. 60, exerc. 4, a).)