Exercice 34, § 1

Soient E un espace de Banach, K un ensemble convexe borné dans E et fermé pour $\sigma(E, E')$. On suppose que, pour toute suite $(x_n)$ dans K, il existe une suite extraite $(x_{n_k})$ telle que la suite des moyennes $(x_{n_1} + \cdots + x_{n_k})/k$ soit convergente pour $\sigma(E, E')$. Montrer que pour toute forme linéaire continue $x'$ sur E, il existe un élément $x$ de K tel que $\langle x, x' \rangle = \sup_{y \in K} \langle y, x' \rangle$ (appliquer l’hypothèse à une suite $(x_n)$ de points de K telle que $\langle x_n, x' \rangle$ tende vers $\sup_{y \in K} \langle y, x' \rangle$).

En déduire que si E possède la propriété de l’exerc. 33, d), c’est un espace réflexif (cf. IV, p. 57, exerc. 25).