Bài tập 34, § 1

Cho $E$ là một không gian Banach, $K$ là một tập hợp lồi bị chặn trong $E$ và đóng đối với $\sigma(E, E')$. Giả sử rằng, với mọi dãy $(x_n)$ trong $K$, tồn tại một dãy con $(x_{n_k})$ sao cho dãy các trung bình $(x_{n_1} + \cdots + x_{n_k})/k$ hội tụ đối với $\sigma(E, E')$. Bây giờ chứng minh rằng đối với mọi dạng tuyến tính liên tục $x'$ trên E, tồn tại một phần tử $x$ của K sao cho $\langle x, x' \rangle = \sup_{y \in K} \langle y, x' \rangle$ (áp dụng giả thiết cho một dãy $(x_n)$ các điểm của K sao cho $\langle x_n, x' \rangle$ tiến tới $\sup_{y \in K} \langle y, x' \rangle$).

Suy ra rằng nếu E có tính chất của Bài tập 33, d), thì nó là một không gian phản xạ (xem. IV, p. 57, Bài tập 25).