Exercice 2, § 2

a) Soient $E_1, E_2$ deux espaces hilbertiens dont les dimensions hilbertiennes respectives sont deux cardinaux infinis $m, n$ tels que $m < n \leq m^{|\mathbf{N}|\text{o}}$. Soit $E = E_1 \oplus E_2$ la somme hilbertienne de $E_1, E_2$, et soit $(b_\lambda)_{\lambda \in L}$ une base orthonormale de $E_2$. Montrer qu’il existe dans $E_1$ un système algébriquement libre $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ (cf. exerc. 1, $c$) ; soit $H$ le sous-espace de $E$ engendré (algébriquement) par la famille $(a_\lambda + b_\lambda)_{\lambda \in L}$. Montrer que la dimension hilbertienne de $H$ est égale à $n$ (remarquer que la projection orthogonale de $H$ sur $E_2$ est partout dense, et utiliser l’exerc. 1, $a$). Si $S$ est une partie orthonormale de $H$, montrer que $S \cap E_2 = \varnothing$ ; en déduire que $\mathrm{Card}(S) \leq m$ (remarquer que tout élément d’une base orthonormale de $E_1$ est orthogonal à tous les éléments de $S$ sauf au plus à une infinité dénombrable d’entre eux). b) Soit $E_3$ un espace hilbertien de dimension hilbertienne $p \geq n$, et soit $F$ la somme hilbertienne $E \oplus E_3$. Soit $G$ le sous-espace $H + E_3$ de $F$. Montrer que la dimension hilbertienne de $G$ est $p$. Si $T$ est une partie orthonormale de $G$, montrer que $T \cap (E_2 + E_3) \subset E_3$ ; en déduire que le cardinal de la projection orthogonale de $T$ sur $E_2$ est au plus $m$ (raisonner comme dans $a$). Conclure de là que $G$ n’admet pas de base orthonormale, en remarquant que la projection orthogonale de $G$ sur $E_2$ est partout dense dans $E_2$.