Bài tập 2, § 2

(a) Cho $E_1, E_2$ là hai không gian Hilbert mà các chiều Hilbert tương ứng là hai lực lượng $m$ và $n$ sao cho $m < n \leq m^{N_0}$. Cho $E = E_1 \oplus E_2$ là tổng Hilbert của $E_1, E_2$ và cho $(b_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một cơ sở trực chuẩn của $E_2$. Chứng minh rằng tồn tại một hệ độc lập đại số $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ trong $E_1$ (xem Bài tập 1, c)); gọi $H$ là không gian con của $E$ được sinh (đại số) bởi họ $(a_\lambda + b_\lambda)_{\lambda \in L}$. Chứng minh rằng chiều Hilbert của $\overline{H}$ bằng $H$ (nhận thấy rằng phép chiếu trực giao từ $H$ lên $E_2$ là trù mật khắp nơi, và sử dụng Bài tập 1, a)). Nếu $S$ là một tập con trực chuẩn của $H$, chứng minh rằng $S \cap E_2 = \varnothing$; và suy ra rằng $\mathrm{Card}(S) \leq m$ (nhận thấy rằng mọi phần tử của một cơ sở trực chuẩn của $E_1$ đều trực giao với mọi phần tử của $S$, ngoại trừ nhiều nhất một tập con vô hạn đếm được).

(b) Cho $E_3$ là một không gian Hilbert có chiều Hilbert $p \geq n$, và cho $F$ là tổng Hilbert $E \oplus E_3$. Gọi $G$ là không gian con $H + E_3$ của $F$. Chứng minh rằng chiều Hilbert của $\overline{G}$ là $p$. Nếu $T$ là một tập con trực chuẩn của $G$, chứng minh rằng $T \cap (E_2 + E_3) \subset E_3$; suy ra rằng lực lượng của phép chiếu trực giao từ $T$ lên $E_2$ nhiều nhất là $m$ (lập luận như trong a)). Kết luận từ đó rằng $G$ không có cơ sở trực chuẩn, bằng cách nhận thấy rằng phép chiếu trực giao từ $G$ lên $E_2$ là trù mật khắp nơi trong $E_2$.