Exercice 7, § 2

Étant donnés $n$ points $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) dans un espace préhilbertien séparé E, on appelle déterminant de Gram de ces $n$ points le déterminant

a) Montrer que $G(x_1, ..., x_n) \geq 0$ et que, pour que $x_1, ..., x_n$ forment un système libre, il faut et il suffit que $G(x_1, ..., x_n) \neq 0$ (considérer une base orthonormale d’un sous-espace de dimension $n$ contenant $x_1, ..., x_n$, en supposant que $\dim(E) \geq n$). b) Montrer que si $x_1, ..., x_n$ est un système libre dans E, la distance d’un point $x \in E$ au sous-espace vectoriel V engendré par $x_1, ..., x_n$ est égale à $(G(x, x_1, ..., x_n)/G(x_1, ..., x_n))^{1/2}$ (chercher l’expression de la projection orthogonale de $x$ sur V). c) Soit $(x_n)$ une suite infinie de points de E. Pour que la famille $(x_n)$ soit topologiquement libre, il faut et il suffit que, pour tout entier $p > 0$,

(utiliser b)).