Bài tập 7, § 2

Cho $n$ điểm $x_i (1 \leq i \leq n)$ trong một không gian tiền Hilbert Hausdorff E, ta gọi định thức Gram của $n$ điểm này là định thức

(a) Chứng minh rằng $G(x_1, ..., x_n) \geq 0$ và để $x_1, ..., x_n$ tạo thành một hệ độc lập thì điều kiện cần và đủ là $G(x_1, ..., x_n) \neq 0$ (giả sử rằng $\dim(E) \geq n$, xét một cơ sở trực chuẩn của một không gian con $n$-chiều chứa $x_1, ..., x_n$). (b) Chứng minh rằng nếu $x_1, ..., x_n$ là một hệ độc lập trong E, khoảng cách từ một điểm $x \in E$ đến không gian con vectơ V sinh bởi $x_1, ..., x_n$ bằng $(G(x, x_1, ..., x_n)/G(x_1, ..., x_n))^{1/2}$ (tìm biểu thức của phép chiếu trực giao của $x$ trên V). (c) Cho $(x_n)$ là một dãy vô hạn các điểm trong E. Để họ $(x_n)$ độc lập tôpô thì điều kiện cần và đủ là, với mọi số nguyên $p > 0$,

(dùng $b$).