Exercice 15, § 4

Soit E un espace hilbertien complexe ; on note $\mathscr{B} = \mathscr{L}(E)$ l’algèbre des endomorphismes continus de E, munie de la norme usuelle $\|T\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|T.x\|$. Pour tout couple de points x, y de E, on note $\omega_{x,y}$ la forme linéaire continue $T \mapsto \langle x|T.y \rangle$ sur $\mathscr{B}$, et on désigne par $\mathscr{B}_o$ le sous-espace fermé du dual fort $\mathscr{B}'$ de l’espace de Banach $\mathscr{B}$, engendré par les $\omega_{x,y}$. a) Montrer que l’application linéaire qui, à tout $T \in \mathscr{B}$, associe la forme linéaire $\omega \mapsto \langle \omega, T \rangle$ sur $\mathscr{B}_o$, est une isométrie de $\mathscr{B}$ sur le dual fort de $\mathscr{B}_o$; autrement dit, $\mathscr{B}_o$ est un préDual (IV, p. 56, exerc. 23) de $\mathscr{B}$. La topologie $\sigma(\mathscr{B}, \mathscr{B}_o)$ sur $\mathscr{B}$ est appelée la topologie ultrafaible. b) Pour tout élément $T$ de $\mathscr{L}^1(E)$, on définit une forme linéaire $\varphi_T$ sur $\mathscr{B}$ par la formule $\varphi_T(S) = \operatorname{Tr}(ST)$ pour tout opérateur $S \in \mathscr{B}$. Montrer que $\varphi_T$ est continue, et que l’application $T \mapsto \varphi_T$ est une isométrie de l’espace de Banach $\mathscr{L}^1(E)$ (exerc. 14, e)) sur l’espace de Banach $\mathscr{B}_o$ (considérer d’abord le cas où T est de rang fini). c) Soit $\mathscr{B}_{oo}$ le sous-espace vectoriel de $\mathscr{B}_o$ engendré par les $\omega_{x,y}$ (de sorte que $\mathscr{B}_o = \overline{\mathscr{B}_{oo}}$). Montrer que $\mathscr{B}_{oo}$ est tonnelé (remarquer qu’une partie de $\mathscr{B}$ bornée pour $\sigma(\mathscr{B}, \mathscr{B}_{oo})$ est bornée pour la topologie de la norme). d) Soit $F_n$ le sous-espace de $\mathscr{B}_{oo}$ image de l’ensemble des endomorphismes de E de rang fini $\leq n$ par l’isométrie définie dans b). Montrer que $F_n$ est rare dans $\mathscr{B}_{oo}$ et en déduire que $\mathscr{B}_{oo}$ n’est pas un espace de Baire.