Exercice 7, § 4

a) Les notations étant celles de l’exerc. 6, montrer que, pour que $M + N^{\circ}$ soit fermé, il faut et il suffit que $M + N^{\circ} = (M^{\circ} \cap N)^{\circ}$. b) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : α) $\varepsilon(M, N) < 1$; β) $M + N^{\circ}$ est fermé dans E ; γ) Si $\tilde{M}$ est le supplémentaire orthogonal de $M \cap N^{\circ}$ dans M et $(N^{\circ})^{\sim}$ celui de $M \cap N^{\circ}$ dans $N^{\circ}$, E est somme directe de $M^{\circ} \cap N$, $M \cap N^{\circ}$, $\tilde{M}$ et $(N^{\circ})^{\sim}$. En outre, si R et S sont les projecteurs de E sur $\tilde{M}$ et $(N^{\circ})^{\sim}$ respectivement correspondant à cette décomposition, on a $\|R\| = \|S\| = (1 - \varepsilon^2(M, N))^{1/2}$. (Pour voir que α) entraîne β) remarquer d’abord que si $x \in \tilde{M}$ et $y \in (N^{\circ})^{\sim}$ on a $|\langle x|y \rangle| \leq \varepsilon(M, N) \|x\|.\|y\|$; soit alors $u = x + y + t$ la décomposition d’un élément $u \in M + N^{\circ}$ avec $x \in M$, $y \in (N^{\circ})^{\sim}$ et $t \in M \cap N^{\circ}$, en déduire que $\|x\| \leq (1 - \varepsilon^2(M, N))^{-1/2} \|u\|$, $\|y\| \leq (1 - \varepsilon^2(M, N))^{-1/2} \|u\|$ et $\|t\| \leq \|u\|$. Pour prouver que γ) entraîne α), considérer, pour un $v \in \tilde{M}$, la décomposition $v = v_1 + v_2$, où $v_1$ est la projection orthogonale de $v$ sur N, supplémentaire de $N \cap M^{\circ}$ dans N ; on a $R.v_1 = v$, et si on avait $\varepsilon(M, N) = 1$, il existerait une suite $(v_n) \in \tilde{M}$ telle que $\|v_n\|=1$ et que $\|(v_n)_1\|$ tende vers 0. Montrer ensuite que la restriction $R_1$ de $R$ à $\tilde{N}$ est une bijection de $\tilde{N}$ sur $\tilde{M}$; pour calculer $\|R\|$, montrer que $\|R_1^{-1}\|\leq(1-\varepsilon^2(M,N))^{1/2}.$) c) Déduire de b) que si $M+N^\circ$ est fermé, il en est de même de $M^\circ+N$.