Bài tập 7, § 4

a) Các ký hiệu là những ký hiệu của Bài tập 6, bây giờ chứng minh rằng, để $M + N^{\circ}$ đóng, điều kiện cần và đủ là $M + N^{\circ} = (M^{\circ} \cap N)^{\circ}$. b) Bây giờ chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: α) $\varepsilon(M, N) < 1$; β) $M + N^{\circ}$ là đóng trong E ; γ) Nếu $\tilde{M}$ là phần bù trực giao của $M \cap N^{\circ}$ trong M và $(N^{\circ})^{\sim}$ là phần bù trực giao của $M \cap N^{\circ}$ trong $N^{\circ}$, E là tổng trực tiếp của $M^{\circ} \cap N$, $M \cap N^{\circ}$, $\tilde{M}$ và $(N^{\circ})^{\sim}$. Hơn nữa, nếu R và S là các phép chiếu của E lên $\tilde{M}$ và $(N^{\circ})^{\sim}$ tương ứng với phân tích này, ta có $\|R\| = \|S\| = (1 - \varepsilon^2(M, N))^{1/2}$. (Để thấy α) suy ra β), trước hết nhận xét rằng nếu $x \in \tilde{M}$ và $y \in (N^{\circ})^{\sim}$ thì có $|\langle x|y \rangle| \leq \varepsilon(M, N) \|x\|.\|y\|$; khi đó đặt $u = x + y + t$ là phân tích của một phần tử $u \in M + N^{\circ}$ với $x \in M$, $y \in (N^{\circ})^{\sim}$ và $t \in M \cap N^{\circ}$, suy ra $\|x\| \leq (1 - \varepsilon^2(M, N))^{-1/2} \|u\|$, $\|y\| \leq (1 - \varepsilon^2(M, N))^{-1/2} \|u\|$ và $\|t\| \leq \|u\|$. Để chứng minh γ) suy ra α), xét, với một $v \in \tilde{M}$, phân tích $v = v_1 + v_2$, trong đó $v_1$ là phép chiếu trực giao của v lên N, phần bù của $N \cap M^{\circ}$ trong N ; ta có $R.v_1 = v$, và nếu có $\varepsilon(M, N) = 1$, thì tồn tại một dãy $(v_n) \in \tilde{M}$ sao cho $\|v_n\|=1$ và $\|(v_n)_1\|$ tiến tới 0. Bây giờ chứng minh rằng hạn chế $R_1$ của R lên $\tilde{N}$ là một song ánh của $\tilde{N}$ lên $\tilde{M}$; để tính $\|R\|$, bây giờ chứng minh rằng $\|R_1^{-1}\|\leq(1-\varepsilon^2(M,N))^{1/2}.$) c) Suy ra từ b) rằng nếu $M+N^\circ$ đóng thì điều tương tự cũng đúng với $M^\circ+N$.