Exercice 1, § 1

Soit $f$ une fonction vectorielle d’une variable réelle, définie dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$, et dérivable en un point $x_0$ intérieur à $I$. Montrer que le rapport

tend vers $f'(x_0)$ lorsque $h$ et $k$ tendent vers 0 par valeurs 0. Réciproque. \* Montrer que la fonction $f_s$ égale à $x^2 \sin 1/x$ pour $x \neq 0$, à 0 pour $x = 0$, est dérivable en tout point, mais que $(f(y) - f(z))/(y - z)$ ne tend pas vers $f'(0)$ lorsque $y$ et $z$ tendent vers 0 en restant distincts et $> 0$.