Bài tập 1, § 1

Cho $f$ là một hàm vectơ của một biến thực, được xác định trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$ và khả vi tại một điểm $x_0$ nằm trong phần trong của $I$. Chứng minh rằng thương

tiến tới $f'(x_0)$ khi $h$ và $k$ tiến tới 0 qua các giá trị $> 0$. Đảo lại.

Chứng minh rằng hàm $f$ bằng $x^2 \sin 1/x$ đối với $x \neq 0$, và bằng 0 đối với $x = 0$, khả vi mọi nơi, nhưng $(f(y) - f(z))/(y - z)$ không tiến tới $f'(0)$ khi $y$ và $z$ tiến tới 0, trong khi vẫn phân biệt và $> 0$.