Exercice 3, § 1

Soit $\mathscr{C}(I)$ l’espace complet des fonctions numériques finies et continues définies dans l’intervalle compact $I = [a, b]$ de $\mathbf{R}$, $\mathscr{B}(I)$ étant muni de la topologie de la convergence uniforme (TG, X, p. 4). Soit $A$ la partie de $\mathscr{C}(I)$ formée des fonctions $x$ telles que, pour un point au moins $t \in [a, b[$ (dépendant de la fonction $x$), $x$ ait au point $t$ une dérivée à droite finie. Montrer que dans $\mathscr{C}(I)$, $A$ est un ensemble maigre (TG, IX, p. 53), et par suite son complémentaire, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions continues dans $I$, n’ayant de dérivée à droite finie en aucun point de $[a, b[$, est un sous-espace de Baire de $\mathscr{C}(I)$ (TG, IX, p. 54). (Soit $A_n$ l’ensemble des fonctions $x \in \mathscr{C}(I)$ telle que, pour une valeur de $t$ au moins satisfaisant à $a \leq t \leq b - 1/n$ (et dépendant de $x$) on ait $|x(t') - x(t)| \leq n|t' - t|$ pour tout $t'$ tel que $t \leq t' \leq t + 1/n$. Montrer que chacun des $A_n$ est un ensemble fermé rare dans $\mathscr{C}(I)$ : on remarquera pour cela que, dans $\mathscr{C}(I)$, toute boule contient une fonction ayant une dérivée à droite bornée dans $[a, b[$; d’autre part, pour tout $\varepsilon > 0$ et tout entier $m > 0$, il existe dans $I$ une fonction continue ayant en tout point de $[a, b[$ une dérivée à droite finie et telle que, pour tout $t \in [a, b[$, on ait $|y(t)| \leq \varepsilon$ et $|y'_d(t)| \geq m.$