Bài tập 3, § 1

Cho $\mathscr{C}(I)$ là không gian đầy đủ của các hàm thực liên tục hữu hạn được xác định trên khoảng compact $I = [a, b]$ của $\mathbf{R}$, và trang bị cho $\mathscr{C}(I)$ tôpô của sự hội tụ đều (\emph{Gen. Top.}, X, p. 277). Cho $A$ là tập con của $\mathscr{C}(I)$ tạo bởi các hàm $x$ sao cho tại \emph{ít nhất một} điểm $t \in [a, b[$ (phụ thuộc vào hàm $x$) hàm $x$ có đạo hàm phải \emph{hữu hạn}. Chứng minh rằng $A$ là một tập hợp \emph{thưa} trong $\mathscr{C}(I)$ (\emph{Gen. Top.}, IX, p. 192), và do đó phần bù của nó, nghĩa là tập hợp các hàm liên tục trên $I$ không có đạo hàm phải hữu hạn tại \emph{bất kỳ điểm nào} của $[a, b[$ là một không gian con Baire của $\mathscr{C}(I)$ (\emph{Gen. Top.}, IX, p. 192). (Gọi $A_n$ là tập hợp các hàm $x \in \mathscr{C}(I)$ sao cho với ít nhất một giá trị của $t$ thỏa mãn $a \leq t \leq b - 1/n$ (và phụ thuộc vào $x$) ta có $|x(t') - x(t)| \leq n |t' - t|$ với mọi $t'$ sao cho $t \leq t' < t + 1/n$. Chứng minh rằng mỗi $A_n$ là một tập hợp đóng \emph{không đâu trù mật} trong $\mathscr{C}(I)$: nhận xét rằng trong $\mathscr{C}(I)$ mỗi quả cầu chứa một hàm có đạo hàm phải bị chặn trên $[a, b[$; mặt khác, với mọi $\varepsilon > 0$ và mọi số nguyên $m > 0$ tồn tại trên $I$ một hàm liên tục có tại mọi điểm của $[a, b[$ một đạo hàm phải hữu hạn sao cho, với mọi $t \in [a, b[$ ta có $|y(t)| \leq \varepsilon$ và $|y'_r(t)| \geq m.$)