Exercice 4, § 1

Soient $E$ un espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$, $f$ une fonction vectorielle continue, définie dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$, et admettant en tout point de $I$ une dérivée à droite et une dérivée à gauche. a) Soient $U$ un ensemble ouvert non vide dans $E$, $A$ la partie de $I$ formée des points $x$ tels que $f'_d(x) \in U$. Étant donné un nombre $\alpha > 0$, soit $B$ la partie de $I$ formée des points $x$ tels qu’il existe au moins un $y \in I$ vérifiant les conditions $x - \alpha \leq y < x$ et $(f(x) - f(y))/(x - y) \in U$; montrer que l’ensemble $B$ est ouvert et que $A \cap \overline{B}$ est dénombrable (remarquer que ce dernier ensemble est formé d’origines d’intervalles contigus à $\overline{B}$). En déduire que l’ensemble des points $x \in A$ tels que $f'_d(x) \notin \overline{U}$ est dénombrable. b) On suppose que $E$ est un espace normé ; l’image $f(I)$ est alors un espace métrique ayant une

EXERCICES

base dénombrable, et il en est de même du sous-espace vectoriel fermé F de E engendré par $f(I)$, sous-espace qui contient $f'_d(I)$ et $f'_g(I)$. Déduire de a) que l’ensemble des points $x \in I$ tels que $f'_d(x) \neq f'_g(x)$ est dénombrable. (Si $(U_m)$ est une base dénombrable de la topologie de F, remarquer que pour deux points distincts $a, b$ de F, il existe deux ensembles $U_p, U_q$ sans point commun et tels que $a \in U_p$ et $b \in U_q$).

c) On prend pour E l’espace produit $\mathbf{R}^I$ (espace des applications de I dans $\mathbf{R}$, muni de la topologie de la convergence simple), et pour tout $x \in I$, on désigne par $g(x)$ l’application $t \mapsto |x - t|$ de I dans $\mathbf{R}$. Montrer que g est continue et que, pour tout $x \in I$, on a $g'_d(x) \neq g'_g(x)$.