Bài tập 4, § 1

Cho E là một không gian vectơ tôpô trên $\mathbf{R}$ và $f$ là một hàm vectơ liên tục xác định trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$, và có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại mọi điểm của I.

a) Cho U là một tập mở khác rỗng trong E, và A là tập con của I tạo bởi các điểm x sao cho $f'_d(x) \in U$. Cho một số $\alpha > 0$ và gọi B là tập con của I tạo bởi các điểm x sao cho tồn tại ít nhất một $y \in I$ thỏa mãn các điều kiện $x - \alpha \leq y < x$ và $(f(x) - f(y))/(x - y) \in U$; hãy chứng minh rằng tập hợp B là mở và rằng $A \cap CB$ là đếm được (nhận xét rằng tập hợp sau cùng này được tạo bởi các đầu mút trái của các khoảng kề với CB). Suy ra rằng tập hợp các điểm $x \in A$ sao cho $f'_g(x) \notin \overline{U}$ là đếm được.

b) Giả sử rằng E là một không gian định chuẩn; khi đó ảnh $f(I)$ là một không gian mêtric có một cơ sở đếm được, và điều tương tự cũng đúng cho không gian con vectơ đóng F của E sinh bởi $f(I)$, một không gian con chứa $f'_d(I)$ và $f'_g(I)$. Suy ra từ a) rằng tập hợp các điểm $x \in I$ sao cho $f'_d(x) \neq f'_g(x)$ là đếm được. (Nếu $(U_n)$ là một cơ sở đếm được cho tôpô của F, chú ý rằng đối với hai điểm phân biệt $a, b$ của F tồn tại hai tập hợp rời nhau $U_p, U_q$ sao cho $a \in U_p$ và $b \in U_q$.)

c) Lấy E là tích $\mathbf{R}^I$ (không gian các ánh xạ từ I vào $\mathbf{R}$, được trang bị tôpô hội tụ đơn giản), và với mỗi $x \in I$ ký hiệu $g(x)$ là ánh xạ $t \mapsto |x - t|$ từ I vào $\mathbf{R}$. Hãy chứng minh rằng g là liên tục và rằng, với mọi $x \in I$, ta có $g'_r(x) \neq g'_l(x)$.