Exercice 5, § 1

Soit $f$ une fonction vectorielle continue définie dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$, à valeurs dans un espace normé E sur $\mathbf{R}$, et admettant en tout point de I une dérivée à droite.

a) Montrer que l’ensemble des points $x \in I$ tels que $f'_d$ soit bornée dans un voisinage de x est un ensemble ouvert partout dense dans I (utiliser le th. 2 de TG, IX, p. 56).

b) Montrer que l’ensemble des points de I où $f'_d$ est continue est le complémentaire d’un ensemble maigre dans I (cf. TG, IX, p. 114, exerc. 20).