Exercice 2, § 2

Dans le corps $\mathbf{Q}_p$ des nombres $p$-adiques (TG, III, p. 84, exerc. 23), tout entier $p$-adique $x \in \mathbf{Z}_p$ admet un développement et un seul de la forme $x = a_0 + a_1 p + \cdots + a_n p^n + \cdots$, où les $a_j$ sont des entiers rationnels tels que $0 \leq a_j \leq p - 1$ pour tout $j$. Pour tout $z \in \mathbf{Z}_p$, on pose

montrer que, dans $\mathbf{Z}_p$, $f$ est une fonction continue, qui n’est constante dans le voisinage d’aucun point et admet en tout point une dérivée nulle.