Bài tập 2, § 2

Trong trường $\mathbf{Q}_p$ các số $p$-adic (Gen. Top., III, p. 322, exerc. 23) mỗi số nguyên $p$-adic $x \in \mathbf{Z}_p$ có một và chỉ một khai triển dưới dạng $x = a_0 + a_1 p + \cdots + a_n p^n + \cdots$, trong đó các $a_j$ là các số nguyên hữu tỉ sao cho $0 \leq a_j \leq p - 1$ với mỗi $j$. Với mỗi $z \in \mathbf{Z}_p$ đặt

chứng minh rằng, trên $\mathbf{Z}_p$, $f$ là một hàm liên tục không hằng trên một lân cận nào của bất kỳ điểm nào nhưng lại có đạo hàm không tại mọi điểm.