Exercice 4, § 2

Soit $f$ une fonction numérique finie et continue dans un intervalle compact $]a, b[$ de $\mathbf{R}$ et admettant en tout point de l’intervalle ouvert $]a, b[$ une dérivée à droite. Soient $m$ et $M$ les bornes inférieure et supérieure (finies ou non) de $f'_d$ dans $]a, b[$.

a) Montrer que, lorsque $x$ et $y$ parcouruent $]a, b[$ de sorte que $x \neq y$, l’ensemble des valeurs de $(f(x) - f(y))/(x - y)$ est identique à l’intervalle $]m, M[$ si $f$ n’est pas linéaire affine. (Se ramener à prouver que si $f'_d$ prend deux valeurs de signes contraires en deux points $c, d$ de $]a, b[$ (avec $c < d$), il existe deux points distincts de l’intervalle $]c, d[$ où $f$ prend la même valeur.)

b) Si $f$ admet en outre en tout point de $]a, b[$ une dérivée à gauche, les bornes inférieures (resp. supérieures) de $f'_d$ et $f'_g$ dans $]a, b[$ sont égales.

c) En déduire que si $f$ est dérivable dans $]a, b[$, l’image par $f'$ de tout intervalle contenu dans $]a, b[$ est un intervalle, et par suite est connexe (utiliser a)).