Bài tập 4, § 2

Cho $f$ là một hàm thực hữu hạn, liên tục trên một khoảng compact $[a, b]$ trong $\mathbf{R}$, và có đạo hàm phải tại mọi điểm của khoảng mở $]a, b[$. Cho $m$ và $M$ lần lượt là cận dưới lớn nhất và cận trên nhỏ nhất (hữu hạn hoặc không) của $f'_d$ trên $]a, b[$.

a) Chứng minh rằng khi $x$ và $y$ chạy qua $]a, b[$ với điều kiện $x \neq y$, tập hợp các giá trị của $(f(x) - f(y))/(x - y)$ chứa $]m, M[$ và được chứa trong $[m, M]$. (Rút gọn về việc chứng minh rằng nếu $f'_d$ nhận hai giá trị trái dấu tại hai điểm $c, d$ của $]a, b[$ (với $c < d$), thì tồn tại hai điểm phân biệt của khoảng $]c, d[$ tại đó $f$ nhận cùng một giá trị).

b) Nếu thêm nữa, $f$ có đạo hàm trái tại mọi điểm của $]a, b[$ thì các cận dưới lớn nhất (tương ứng cận trên nhỏ nhất) của $f'_d$ và $f'_g$ trên $]a, b[$ là bằng nhau.

c) Suy ra rằng nếu $f$ khả vi trên $]a,\ b[$ thì ảnh qua $f'$ của mọi khoảng được chứa trong $]a,\ b[$ tự nó là một khoảng, và do đó liên thông (sử dụng a)).