Exercice 8, § 2

On considère, dans l’intervalle $[0, 1]$, une famille $(I_{n,p})$ d’intervalles ouverts deux à deux sans point commun, définie par récurrence comme suit: l’entier $n$ prend toutes les valeurs $\geqslant 0$; pour chaque valeur de $n$, l’entier $p$ prend les valeurs $1, 2, \ldots, 2^n$; on a $I_{0,1} = ]\frac{1}{3}, \frac{2}{3}[$; si $J_n$ est la réunion des intervalles $I_{m,p}$ correspondant aux nombres $m \leqslant n$, le complémentaire de $J_n$ est réunion de $2^{n+1}$ intervalles fermés $K_{n,p}$ ($1 \leqslant p \leqslant 2^{n+1}$) deux à deux sans point commun. Si $K_{n,p}$ est un intervalle $(a, b)$, on prend alors pour $I_{n+1,p}$ l’intervalle ouvert d’extrémités $b - \frac{b-a}{3}\left(1 + \frac{1}{2^n}\right)$ et $b - \frac{b-a}{3.2^n}$. Soit $E$ l’ensemble parfait complémentaire de la réunion des $I_{n,p}$ par rapport à $[0, 1]$. Définir dans $(0, 1)$ une fonction numérique continue $f$ qui admette en tout point de $(0, 1)$ une dérivée à droite, mais qui n’ait pas de dérivée à gauche aux points de l’ensemble non dénombrable des points de $E$ distincts des extrémités d’intervalles contigus à $E$ (cf. exerc. 7). (Prendre $f(x) = 0$ dans $E$, définir convenablement $f$ dans chacun des intervalles $I_{n,p}$ de sorte que, pour tout $x \in E$, il y ait des points $y < x$ n’appartenant pas à $E$, arbitrairement voisins de $x$, et tels que $\frac{f(y) - f(x)}{y-x} = -1$).