Bài tập 8, § 2

Xét, trên khoảng $[0,\ 1]$, một họ $(I_{n,p})$ các khoảng mở rời nhau từng đôi một, được định nghĩa quy nạp như sau: số nguyên $n$ nhận mọi giá trị $\geq 0$; với mỗi giá trị của $n$, số nguyên $p$ nhận các giá trị $1,\ 2,\ \ldots,\ 2^n$; ta có $I_{0,1} = ]\frac{1}{3},\ \frac{2}{3}[$; nếu $J_n$ là hợp của các khoảng $I_{m,p}$ tương ứng với các số $m \leq n$, phần bù của $J_n$ là hợp của $2^{n+1}$ khoảng đóng rời nhau từng đôi một $K_{n,p}$ ($1 \leq p \leq 2^{n+1}$). Nếu $K_{n,p}$ là một khoảng $[a,\ b]$ thì ta lấy $I_{n+1,p}$ là khoảng mở có các đầu mút $b - \frac{b-a}{3} \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)$ và $b - \frac{b-a}{3.2^n}$. Gọi $E$ là tập hợp hoàn hảo là phần bù đối với $[0,\ 1]$ của hợp các $I_{n,p}$. Định nghĩa trên $[0,\ 1]$ một hàm thực liên tục $f$ có đạo hàm phải tại mọi điểm của $[0,\ 1[$, nhưng không có đạo hàm trái tại tập con không đếm được của $E$ gồm các điểm phân biệt với các đầu mút của các khoảng kề với $E$ (xem bài tập 7). (Lấy $f(x) = 0$ trên $E$, định nghĩa $f$ một cách thích hợp trên mỗi khoảng $I_{n,p}$ sao cho với mọi $x \in E$ có các điểm $y < x$ không thuộc $E$, tùy ý gần $x$, và sao cho $\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = -1$.)