Exercice 12, § 3

a) Soit $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle définie et continue dans l’intervalle fini $I = (-a, +a)$, prenant ses valeurs dans un espace normé $E$ sur $\mathbf{R}$ et deux fois dérivable dans $I$. Si on pose $M_0 = \sup_{x \in I} \| \mathbf{f}(x) \|, M_2 = \sup_{x \in I} \| \mathbf{f}''(x) \|$, montrer que pour tout $x \in I$, on a

(exprimer chacune des différences $\mathbf{f}(a) - \mathbf{f}(x), \mathbf{f}(-a) - \mathbf{f}(x)$).

b) Déduire de a) que si $\mathbf{f}$ est une fonction deux fois dérivable dans un intervalle I (borné ou non), et si $M_0 = \sup_{x \in I} \|f(x)\|$ et $M_2 = \sup_{x \in I} \|f''(x)\|$ sont finis, il en est de même de $M_1 = \sup_{x \in I} \|f'(x)\|$, et on a:

Montrer que, dans ces deux inégalités, les nombres 2 et $\sqrt{2}$ respectivement ne peuvent être remplacés par des nombres plus petits (considérer d’abord le cas où on suppose seulement que $f$ admet une dérivée seconde à droite, et montrer que dans ce cas les deux membres des inégalités précédentes peuvent devenir égaux, en prenant pour $f$ une fonction numérique égale « par morceaux » à des polynômes du second degré).

c) Déduire de b) que si $f$ est $p$ fois dérivable dans $\mathbf{R}$, et si $M_p = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f^{(p)}(x)\|$ et $M_0 = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f(x)\|$ sont finis, chacun des nombres $M_k = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f^{(k)}(x)\|$ est fini pour $1 \leq k \leq p - 1$, et on a