Bài tập 12, § 3

a) Cho $f$ là một hàm vectơ được xác định và liên tục trên khoảng hữu hạn $I = [-a, +a]$, nhận các giá trị của nó trong một không gian định chuẩn $E$ trên $\mathbf{R}$ và khả vi hai lần trên $I$. Nếu đặt $M_0 = \sup_{x \in I} \|f(x)\|, \quad M_2 = \sup_{x \in I} \|f''(x)\|$, hãy chỉ ra rằng với mọi $x \in I$ ta có

(viết mỗi hiệu $f(a) - f(x), \quad f(-a) - f(x)$ dưới dạng thích hợp).

b) Suy ra từ a) rằng nếu $f$ là một hàm khả vi hai lần trên một khoảng $I$ (bị chặn hoặc không), và nếu $M_0 = \sup_{x \in I} \|f(x)\|$ và $M_2 = \sup_{x \in I} \|f''(x)\|$ là hữu hạn, thì $M_1 = \sup_{x \in I} \|f'(x)\|$ cũng hữu hạn, và ta có:

Chứng minh rằng trong hai bất đẳng thức này các số 2 và $\sqrt{2}$ tương ứng không thể được thay thế bởi các số nhỏ hơn (trước hết xét trường hợp chỉ giả sử rằng $f$ có đạo hàm phải cấp hai, và chứng minh rằng trong trường hợp này hai vế của các bất đẳng thức trên có thể bằng nhau, bằng cách lấy $f$ là một hàm thực bằng từng đoạn với các đa thức bậc hai).

c) Suy ra từ b) rằng nếu $f$ khả vi $p$ lần trên $\mathbf{R}$, và nếu $M_p = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f^{(p)}(x)\|$ và $M_0 = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f(x)\|$ là hữu hạn, thì mỗi số $M_k = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f^{(k)}(x)\|$ là hữu hạn (với $1 \leq k \leq p-1$) và