Exercice 16, § 3

Soit $f$ une fonction numérique n fois dérivable dans $I = ]-1, +1[$, et telle que $|f(x)| \leq 1$ dans cet intervalle.

a) Montrer que, si $m_k(\lambda)$ désigne le minimum de $|f^{(k)}(x)|$ dans un intervalle de longueur $\lambda$ contenu dans I, on a

(On remarquera que si l’intervalle de longueur $\lambda$ est décomposé en trois intervalles de longueurs $\alpha, \beta, \gamma$, on a

b) Déduire de a) qu’il existe un nombre $\mu_n$ ne dépendant que de l’entier $n$, tel que, si $|f'(0)| \geq \mu_n$, la dérivée $f^{(n)}(x)$ s’annule en au moins $n - 1$ points distincts de I (montrer par récurrence sur $k$ que $f^{(k)}$ s’annule au moins $k - 1$ fois dans I).